Funksjonell analyse er et område av matematikken som er studiet av vektorer , vektorrom og deres virksomhet. Hovedsak , ifølge Mathematical Atlas , er det undersøkelse av uendelig - dimensjonale vektorrom innenfor en struktur (for eksempel metriske eller ring struktur) . Differensialligninger og andre vektor kalkulus konsepter er i utstrakt bruk i studiet av funksjonell analyse. Fakta

En ekte vektorrom er et sett av elementer som har to operasjoner , addisjon og skalarmultiplikasjon . En metrisk rom er et sett med metriske og studiet av metriske rom kalles topologi . Funksjonell analyse er et avansert nivå av matematisk analyse og har overlegg med mange andre typer matematikk , herunder differensiallikninger, matematisk fysikk , numerisk analyse , signalbehandling , komplekse og reell analyse , geometri, operator algebra , topologi og sannsynlighet .

Historie

begrepet funksjonell analyse først dukket opp i 1922 , i tittelen på Paul Lévy er Leçons de l' analysere fonctionelle . Siden da begrepet funksjonell analyse har blitt brukt for å beskrive funksjon mellomrom (særlig Banach og Hilbert mellomrom) . Denne ideen stammer hovedsakelig fra arbeidet med en produktiv tysk matematiker ved navn David Hilbert som gjorde mange viktige bidrag til feltet i tidlig til midten av det tjuende århundre , ifølge tidligste kjente bruksområder .

Egenskaper

spesielt funksjonell analyse er ofte tenkt på som studiet av komplette normert vektorrom . Disse vektorrom spenner over begge reelle og komplekse tall , og er formelt kalt Banach mellomrom . En Hilbert plass ( oppkalt etter David Hilbert ) er et eksempel på en Banach plass, og det er en plass hvis indre produktet skaper en norm . Funksjonell analyse er normalt innført via studiet av lineære og normert mellomrom og etterfulgt av begrepene Hilbert mellomrom og lineære functionals . Dette blir så fulgt av den oppfatningen av dual Banach mellomrom, Hahn - Banach teori , avgrenset lineære operatører ( samt kompakte operatører , dual operatører og invertible operatører ) , og til slutt de mange aspekter av spektral teori .


Funksjon

begrepet Banach og Hilbert mellomrom er av stor betydning for ren matematikk fordi de er grunnleggende for forståelsen av kvantemekanikk og andre områder av fysikk. Videre, i henhold til Functional Analysis : En introduksjon , er den viktigste rollen av funksjonell analyse for å videreutvikle matematisk språk for forståelsen av verden rundt oss. Tyvende århundre matematikk er nesten utelukkende basert på funksjonell analyse fordi det er studiet av "operasjoner " og deres " spektrum ".
Applications

Funksjonell analyse har mange bruksområder . Ifølge Mathematical Atlas , disse inkluderer modeller av manifolder på topologiske lineære områder , generell topologi (for eksempel topologiske vektorrom ) og metriske rom (som normert vektorrom , avstand funksjoner og indre produkter ) .